terça-feira, 29 de maio de 2012

Teorema de Pitágoras para triângulo retângulo

Os triângulos retângulos são triângulos com propriedades bastante especiais. A próxima animação foi desenvolvida a fim de promover o reconhecimento de uma relação útil para a dedução do teorema de Pitágoras para triângulos retângulos. A figura na animação representa um triângulo, não necessariamente retângulo, de vértices A, B e C, e mais três triângulos obtidos a partir do triângulo ABC, os triângulos I, II e III.

1) Qual a relação entre os triângulos I, II e III? Primeiro, clique na caixa de reflexão do triângulo I. Veja o triângulo I refletido dentro do triângulo ABC. Desabilite a caixa de reflexão do triângulo I. Agora, repita o processo com o triângulo II. Depois, repita o processo com o triângulo III. Certifique-se de que a caixa de reflexão do polígono III esteja desabilitada. Por útlimo habilite as caixas dos triângulo I e II ao mesmo tempo. Você consegue perceber que a área do triângulo III é igual a área dos triângulos I e II, juntos?

2) O fato de que a área do triângulo III é igual a área do triângulo I somada com a área do triângulo II permanece quando movemos o ponto C? Experimente mudar o ponto C de posição e verifique se a relação observada no item 1) continua mantida.

3) Existe mais alguma relação entre os triângulos I, II e III? Existe alguma relação entre as formas dos triângulos I, II e III? Certifique-se de que o ponto C esteja fora da reta do desenho. Você acha que os triângulos têm a mesma forma? Se está na dúvida, clique na caixa que mostra os ângulos. Verifique se existe alguma correspodência entre os ângulos dos triângulos I, II e III, se eles apresentam medidas iguais.

4) Agora, repita as orientações do item 3), só que com o ponto C sobre a reta do desenho. Note que esta reta é perpendicular ao segmento AB. Assim, quando o ponto C está sobre a reta, o triângulo ABC é retângulo. E agora, os triângulos I, II e III têm a mesma forma? Confira que agora existe uma correspondência entre ângulos com mesma medida.

GeoGebra Planilha dinâmica
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Ion Moutinho, Criado com GeoGebra

Pergunta: Um triângulo ABC pode ser decomposto em dois triângulos menores. Quando ABC é um triângulo retângulo, existe uma relação entre estes três triângulos. Que relação é esta? Esta relação se mantêm quando movemos o ponto C sobre a reta da figura?

Conclusão: Na figura da animação eletrônica, podemos perceber que um triângulo pode ser decomposto em dois triângulos menores. Esta decomposição se torna especial justamente no caso que o triângulo dado é retângulo. Neste caso, a decomposição é dada por dois triângulo com a mesma forma que o triângulo maior, isto é, a decomposição é dada por dois triângulos semelhantes ao triângulo original. Para quem quiser conhecer a demonstração do teorema de Pitágoras, o primeiro passo é perceber esta propriedade. O visitante curioso deve procurar por alguma prova deste famoso teorema para ver como a relação destacada aqui pode ser útil para esta prova.

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